三角形

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三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形，是最基本的多邊形。

一般用大写英语字母<math>A</math>、<math>B</math>和<math>C</math> ，为顶点标号。用小写英语字母<math>a</math>、<math>b</math>和<math>c</math>表示边；<math>\alpha</math>、<math>\beta</math>和<math>\gamma</math>或者顶点标号表示角。

目录 1 基本概念 2 性质 2.1 定理 2.2 角度 3 分类 3.1 锐角、钝角三角形 3.2 直角三角形 3.3 等边三角形 3.4 等腰三角形 3.5 退化三角形 4 特性 5 面積 5.1 已知兩邊及其夾角 5.2 已知底和高 5.3 已知三邊長 6 其他三角形有关的定理 7 三角形的五心 8 参看

基本概念

• 中线：三角形一边中点与这边所对定点的连线段。
• 高线：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
• 角平分线：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。

性质

定理

1. 三角不等式：

三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等，则是退化三角形。

三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

1. 勾股定理及其逆定理：

设三角形ABC的三顶点A、B、C所对的三边分别为a、b、c，则<math>a^2+b^2=c^2</math>等价于角C=90°。

1. 正弦定理（R为三角形外接圆半径）：

<math>\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}=2R</math>

1. 餘弦定理：

<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos (\alpha)</math>

<math>b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos (\beta)</math>

<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos (\gamma)</math>

角度

三角形兩隻內角之和，等於剩下的一隻的外角。

在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

分类

锐角、钝角三角形

鈍角三角形是其中一角為鈍角（大於90°）的三角形，其余兩角均小於90°。

銳角三角形的所有內角均為銳角（小於90°）。

直角三角形

Image:Right triangle.png 有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。 成直角的两条边称为直角边，直角所对的边是斜边（hypotenuse）；或最長的邊稱為弦，，底部的一邊稱作勾（又作句），另一邊稱為股。

可以透過不同角度的直角三角形各邊的比求得锐角三角函数。

等边三角形

等邊三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是a，则其面積公式為<math>\frac{\sqrt 3}{4}a^2</math>。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

等腰三角形

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为腰，而另一条边被称为底边，两条腰交叉组成的那个点被称为顶点，它们组成的角被称为顶角。 等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上。

等腰三角形的底的垂直平分線，剛好又是對應角的角平分線，同時又是

等边三角形是等腰三角形的一个特殊形式。

退化三角形

面積為零的三角形。

特性

三角形是具有稳定性：当三角形的三边确定后，它的形状、大小就不会改变。

面積

已知兩邊及其夾角

設a、b為所知的兩邊，C為該夾角，三角形面積為<math>\frac{1}{2}</math>ab sin C。

已知底和高

Image:Triangle area.gif

<math>\frac{1}{2}</math>底x高。因為兩個相同的三角形疊合可成平行四邊形。

已知三邊長

海伦公式： 设p等于三角形三边和的一半：

<math>p=\frac{a+b+c}{2}</math>

则

<math>S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}</math>

化简后就是：

<math>S = \frac{1}{4} \sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}</math>

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：

<math>\sqrt{\frac{1}{4} {(c^2a^2-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})^2)}}</math>

基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設a ≥ b ≥ c，三角形面積為<math>\frac{1}{4} \sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}</math>

其他三角形有关的定理

• 拿破仑三角形
• 費馬點
• 歐拉線
• 梅涅劳斯定理

三角形的五心

名称	定义	图示	备注
內心	三个內角的角平分线的交點	Image:三角形の内心.png	三角形內接圓的圓心
外心	三條邊的垂直平分線的交點	Image:三角形の外心.png	三角形外接圓的圓心
垂心	三条高的交點	Image:三角形の垂心.png
重心	三条中线的交點	Image:三角形の重心.png	被交点划分的线段比例为1:2 (靠近角的一段较长)
旁心	外角的角平分线的交點	Image:三角形の傍心.png	有三个，为三角形某一边上的旁切圓的圆心

Image:Triangle.EulerLine.png垂心（蓝）、重心（黄）和外心（绿）能連成一線，稱為歐拉線。

参看

• 三角学

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多边形
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